MODELOS LINEALIZABLES

Módulo 1: La Crisis del Determinismo – Modelado Matemático de Datos de Calibración Tema: La Transformación Canónica y la Familia Box-Cox.

1. MÁS ALLÁ DEL POLINOMIO: LA FÍSICA NO ES SIEMPRE $y = mx + b$

Uno de los errores conceptuales más frecuentes en metrología es asumir que toda no linealidad debe atacarse aumentando el grado de un polinomio (e.g., ajuste cuadrático o cúbico). Si bien el Teorema de Taylor garantiza que cualquier función suave puede aproximarse localmente mediante un polinomio, esta aproximación es puramente matemática y carece de significado físico. Una parábola ($Ax^2 + Bx + C$) no tiene asíntotas, mientras que muchos sensores físicos (como los termistores o las celdas de carga) tienen comportamientos asintóticos naturales.

El ajuste polinómico es una "curita" matemática: funciona dentro del rango calibrado (interpolación), pero suele fallar catastróficamente fuera de él (extrapolación). Como vimos en el Fenómeno de Runge, los polinomios de alto grado tienden a oscilar para ajustarse al ruido. La alternativa superior es utilizar modelos basados en la física del fenómeno o, si se desea mantener la simplicidad de la regresión lineal, utilizar la Linealización.

2. LA ESTRATEGIA DE LINEALIZACIÓN

La técnica de la Transformación Canónica consiste en aplicar una función matemática biyectiva a la variable respuesta ($y$), a la variable predictora ($x$), o a ambas, con el fin de mapear una relación no lineal en el espacio original hacia una relación lineal en el espacio transformado. Esto permite recuperar la robustez y simplicidad del estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS) sin incurrir en la inestabilidad de los polinomios de alto grado.

Draper y Smith (1998) clasifican estas estrategias en "Modelos Intrínsecamente Lineales". Consideremos los casos más frecuentes en instrumentación:

• Modelo Exponencial (Crecimiento/Decaimiento): Común en cinéticas químicas o sensores de radiación.
  $$y = \alpha e^{\beta x} \quad \xrightarrow{\ln} \quad \ln(y) = \ln(\alpha) + \beta x$$
  Aquí, graficamos $\ln(y)$ contra $x$. La pendiente es $\beta$ y el intercepto es $\ln(\alpha)$.
• Modelo de Potencia: Común en flujómetros y vertederos.
  $$y = \alpha x^{\beta} \quad \xrightarrow{\ln} \quad \ln(y) = \ln(\alpha) + \beta \ln(x)$$
  Aquí, graficamos $\ln(y)$ contra $\ln(x)$ (escala log-log).
• Modelo Recíproco (Inverso): Común en reacciones de orden o resistencia.
  $$y = \alpha + \frac{\beta}{x} \quad \xrightarrow{x' = 1/x} \quad y = \alpha + \beta x'$$

La ventaja crucial de estos modelos es que, a diferencia de un polinomio de grado 5 que consume 6 grados de libertad, aquí seguimos estimando solo dos parámetros (pendiente e intercepto), preservando los grados de libertad y la capacidad de validación del modelo.

3. LA TRAMPA DE LA TRANSFORMACIÓN: HETEROCEDASTICIDAD INDUCIDA

Si bien la linealización es poderosa, no es gratuita. Al transformar la variable $y$ (por ejemplo, tomando $\ln(y)$), también estamos transformando la estructura del error $\varepsilon$. Si el error original era constante (homocedástico) en la escala original, al aplicar el logaritmo, el error se comprimirá para valores altos de $y$ y se expandirá para valores bajos.

Matemáticamente, la varianza del error transformado es aproximadamente:

Esto significa que el modelo linealizado probablemente violará el supuesto de varianza constante de OLS. Por lo tanto, para hacerlo correctamente, se debe aplicar Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS) en el espacio transformado, asignando pesos inversamente proporcionales a la nueva varianza. Ignorar esto puede llevar a una estimación sesgada de la curva de calibración, especialmente en los extremos del rango.